Classical and quantum computation with small space bounds

Summary:

In this thesis, we introduce a new quantum Turing machine model that supports general quantum operators, together with its pushdown, counter, and finite automaton variants, and examine the computational power of classical and quantum machines using small space bounds in many different cases. The main contributions are summarized below. Firstly, we consider quantum Turing machines in the unbounded error setting: (i) in some cases of sublogarithmic space bounds, the class of languages recognized by quantum Turing machines is shown to be strictly larger than that of classical ones; (ii) in constant space bounds, the same result can still be obtained for restricted quantum Turing machines; (iii) the complete characterization of the class of languages recognized by realtime constant space nondeterministic quantum Turing machines is given. Secondly, we consider constant space-bounded quantum Turing machines in the bounded error setting: (i) we introduce a new type of quantum and probabilistic finite automata with a special two-way input head which is not allowed to be stationary or move to the left but has the capability to reset itself to its starting position; (ii) the computational power of this type of quantum machine is shown to be superior to that of the probabilistic machine; (iii) based on these models, two-way probabilistic and two-way classical-head quantum finite automata are shown to be more succinct than two-way nondeterministic finite automata and their one-way variants; (iv) we also introduce probabilistic and quantum finite automata with postselection with their bounded error language classes, and give many characterizations of them. Thirdly, the computational power of realtime quantum finite automata augmented with a write-only memory is investigated by showing many simulation results for different kinds of counter automata. Parallelly, some results on counter and pushdown automata are obtained. Finally, some lower bounds of realtime classical Turing machines in order to recognize a nonregular language are shown to be tight. Moreover, the same question is investigated for some other kinds of realtime machines and several nonregular languages recognized by them in small space bounds are presented.

Özet:

Bu tezde genel kuantum operatörlerini destekleyen yeni bir kuantum Turing makine modeli ile birlikte onun yığıt-bellekli, sayaçlı ve sonlu bellekli modelleri tanımlandı ve az belleğe sahip klasik ve kuantum makinelerin hesaplama güçleri bir çok durum için incelendi. Temel katkılarımız aşağıda özetlenmiştir. İlk olarak kuantum Turing makineleri sınırlı olmayan hata açısından ele alındı: (i) logaritma-altı bellek kullanılan bazı durumlarda hesaplama gücü açısından kuantum Turing makinelerinin klasik muadillerinden üstün olduğu gösterildi; (ii) aynı sonuç sonlu belleğe sahip kısıtlı kuantum Turing makineleri için de elde edildi; (iii) gerçek-zamanlı sonlu belleğe sahip belirlenimci olmayan kuantum Turing makinelerinin tanıdığı dil ailesi belirlendi. İkinci olarak, sonlu belleğe sahip kuantum Turing makineleri sınırlı hata açısından ele alındı: (i) sola gitme veya durma hakkı yasaklanmış fakat kendisini başlangıç noktasına taşıyabilen özel kafaya sahip yeni çift-yönlü kuantum ve olasılıksal sonlu durumlu makineler tanımlandı; (ii) hesaplama gücü açısından bu tür kuantum makinelerin olasılıksal olanlardan daha güçlü olduğu gösterildi; (iii) bu modeller temelinde, çift-yönlü olasıksal ve klasik kafaya sahip kuantum sonlu durum makinelerin, çift-yönlü belirlenimci olmayan sonlu durum makineler ile kendi tek-yönlü muadillerinden daha az sonlu bellek kullandıkları gösterildi; (iv) ayrıca olasılıksal ve kuantum sonseçimli sonlu durumlu makineler ile sınırlı hata payı ile tanıdıkları dil sınıfları tanımlandı ve bir çok özellikleri gösterildi. Üçüncü olarak, sadece yazma hakkı olan bir hafıza eklenen gerçek-zamanlı kuantum sonlu durumlu makenelerin hesaplama gücü, farklı türdeki sayaçlı makineler üzerinden yapılan bir çok benzetim ile incelendi. Paralel olarak, sayaçlı ve yığıt-bellekli makinelere dair bazı sonuçlar elde edildi. Son olarak, literatürde geçen bazı alt sınırların, düzenli olmayan bir dili tanıyan gerçek-zamanlı klasik Turing makineler için mümkün olan en iyi sınırlar oldukları gösterildi. Ek olarak, benzer soru diğer tür gerçek-zamanlı makineler için araştırıldı ve onlar tarafından az bellek ile tanınan birçok düzenli olmayan dilin varlığı gösterildi.